Екстремальні задачі в нормованих просторах, Детальна інформація

позначений квадратичний функціонал, який для гільбертового простору має вигляд:



для деякої константи С>0. Тоді



є точкою мінімуму.



(9)

де x0 - довільна точка.

Функціонал F(х) називається напівнеперервним знизу, якщо (9) виконується коли xn сильно збігається до x0.

Відповідно, функціонал F(х) називається слабонапівнеперервним зверху, якщо -F(х) є слабонапівнеперервним знизу.

Покажемо, що має місце

непорожня.

Враховуючи співвідношення



що і потрібно було показати.



Розглянемо далі деякі властивості опуклих функціоналів.

які називаються відповідно ефективною множиною і надграфом функціоналу F(х).

називається власним.

Означення 8. Функціонал F(х) називається опуклим, якщо epi F(x) – опукла множина.

Для власного функціоналу F(х) має місце

Твердження 2. Для опуклості власного функціоналу F(х) необхідно і достатньо, щоб для всіх х і y виконувалося співвідношення

(10)



В подальшому ми будемо розглядати лише власні функціонали і тому співвідношення (10) можна взяти за означення опуклості.



Приведемо один критерій опуклості.





Подібним чином показується, що з опуклості F(х) випливає опуклість f(t). л