Екстремальні задачі в нормованих просторах, Детальна інформація

Сформулюємо теорему, яка гарантує існування сідлової точки.

опуклий і напівнеперервний знизу. Тоді R(u,v) має принаймні одну сідлову точку.

Зауваження. Замість умов обмеженості множин U і V в теоремі 6 можна вимогати відповідно наступні умови:





Припустимо далі, що Х – дійсний гільбертовий простір. Розглянемо функціонал F(x) вигляду F(x)=a(x,x)-2l(x), де a(x,x) - квадратична форма, відповідна до білінійної симетричної неперервної форми a(x,y), l(x) – неперервний функціонал.



який може бути знайдений із розв’язку варіаційної нерівності

(15)

або нерівності

(16)

Беручи до уваги далі, що DF(x,v)=2[a(x,v)-l(v)], а також твердження 5 і 6 одержимо справедливість сформульованих тверджень.

Наслідок. Нехай U=X. Тоді існує єдиний вектор x, який задовольняє співвідношенню

(17)

що приводить до умови (17).

Приклад 6. Нехай X=W1(G), де G – обмежена область з кусково-гладкою границею.





така, що

(18)

тобто існує єдиний узагальнений розв’язок третьої крайової задачі.

Покажемо, що в тому випадку, коли форма a(x,y) може бути не симетричною, то має місце

Теорема 7 (Лакса-Мільграма). Нехай Х - гільбертовий, сепарабельний простір, a(x,y) - неперервна білінійна коерцитивна форма на X, l(x) – неперервний лінійний функціонал. Тоді існує єдиний вектор х такий, що виконується співвідношення

(19)

Виберемо числа сk з умови



Тоді для c1,…,cn одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних рівнянь



додатньо визначена, а значить ця система має єдиний розв’язок.

задовольняє співвідношенню