Елементи теорії похибок, Детальна інформація

Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:



Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової зліва.

Наприклад:

x=4,570345 – всі цифри в запису цього числа значущі;

x=0,007614 – значущі цифри тільки 7,6,1,4;

x=0,03105600 – значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);

а) x=3750000 – всі цифри значущі;

б) x=3,75·106 – значущі цифри тільки 3,7,5.

Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує 1/2 одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Приклад 1. Нехай x*=14,537 і відомо, що \x0394(x*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо \x0394(x*)>0,5·10–2 і \x0394(x*)<0,5·10–1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 – сумнівні.

Приклад 2. Нехай x*=8,677142 і \x0394(x*)=3·10–4. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Оскільки \x0394(x*)=0,3·10–3<0,5·10–3, то x* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 8,6,7,7.

Приклад 3. Нехай x*=0,046725 і \x0394(x*)=0,008. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо \x0394(x*)=0,0·10–2>0,5·10–2. Отже у числа x* всі значущі цифри сумнівні.

2. Пряма задача теорії похибок

, та їх похибки.

та оцінимо його абсолютну похибку.

Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати

, (3)

де

.

При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку

, (4)

яку називають лінійною оцінкою похибки.

Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:

. (5)

Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.

Похибка суми.