Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

. (2)

Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:

(1()

Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи

U=Ф(()R(r). (3)

Підставляючи в ріність (1’), вийде:

r2Ф(()R(((r)+rФ(()R((r)+Ф(((()R(r)=0

або

. (4)

Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від (, отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через –k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:

Ф(((()+k2Ф(()=0, (5)

r2R(((r)+rR((r)-k2R(r)=0 (5()

Загальне рішення рівності (5) буде

Ф=Аcosk(+Bsink(. (6)

Рішення рівняння (5() будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5(), дістанемо:

r2m(m-1)rm-1-k2rm=0

або

m2-k2=0.

Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5() буде

R=Crk+Dr-k. (7)

Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):

Uk=(Akcosk(+Bksink()(Ckrk+Dkr-k). (8)

Функція (8) буде рішенням рівняння (1() при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5() приймають вид:

Ф((=0, rR(r)+R((r)=0,

отже,

U0=(A0+B0()(C0+D0lnr). (8()

Рішення має бути періодичною функцією від (, так як при одному і тому ж значенні r при ( і (+2( ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8() має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8() має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.

Таким чином, права частина (8() перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,

. (8(()

Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від (. Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями