Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

K=1, 2, …, n, …,

так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від’ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,

(9)

(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:

. (10)

Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f(() розкладалась в ряд Фур’є в інтервалі (-(,(), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур’є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:

. (11)

Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і (. Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:

. (12)

Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:

. (13)

Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:

. (14)

Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f(() неперервна, то функція U(r,(), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1() і при r(R буде U(r,()(f((), тобто U(r,() являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.