Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

, (8)

якщо А(() і В(() такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А(() і В(() так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:

. (9)

Припустимо, що функція ((х) такова, що вона представіма інтегралом Фур’є:



або

. (10)

зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:

(11)

підставляючи знайдені вирази А(() і В(() у формулу (8) отримаємо:



або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо

. (12)

Це і є рішення поставленої задачі.

Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:

. (13)

Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки

. (14)

Позначимо

. (15)

Диференціюючи, отримаємо:

.

Інтегруючи по частинах, знайдем:



або



Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:

. (16)

Знайдем постійну С. З (15) слідує: