Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

uxx=u(((x+u(((x+u(((x+u(((x=u((+2u((+u((,

ut=u((t+u((t=-au(+au(,

utt=-au(((t-au(((t+au(((t+au(((t=a2u((-2a2u((+a2u((.

Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо

a2u((-2a2u((+a2u((-a2(u((+2u((+u(()=0,

-4a2u((=0,

u((=0.

Отримане рівняння можна записати як:

.

Звідси випливає, що u( не залежить від (:

u(=f*((),

де f*(() – довільна функція (.

Інтегруючи останню рівність по ( при фіксованому (, маємо

.

де f1(() і f2(() – довільні двічі диференціюючі функції аргументів ( і (.

Враховуючи, що (=х-at і (=x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді

u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at).

Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:

u(x,t)=f1(x)+f2(x)=((x),

ut(x,0)=-af(1(x)+af(2(x)=((x).

Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь

f1(x)+f2(x)=((x),

-af(1(x)+af(2(x)=((x).

Інтегруючи другу рівність, отримаємо



де х0 і С – постійні. Тоді

f1(x)+f2(x)=((x),

.

Звідси знаходимо

,