Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

d11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0.

Інтеграли цього рівняння називаються характеристиками.

Це характеристичне рівняння можна записати й так



Якщо а12-а11а22>0, то інтеграли характеристичного рівняння ((х,у)=С1 і ((х,у)=С2 дійсні і різні. В цьому випадку кажуть, що рівняння має гіперболічний тип.

, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

, то характеристичне рівняння має комплексні (спряжені) загальні інтеграли і є рівнянням еліптичного типу.

До рівнянь гіперболічного типу приводять задачі про коливання суцільних середовищ і задачі про електромагнітні коливання: процеси поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливаннь валу, коливань газу і т. д.

, відкрите Ейлером у 1759році.

Рівняння параболічного типу дістають при дослідженні таких фізичних явищ, як теплопровідність, дифузія, поширення електромагнітних хвиль у провідних середовищах, рух в’язкої рідини, деякі питання теорії імовірностей і т. д.

Найпростішим з них є рівняння теплопровідності, або рівнянням Фур’є:



До рівняннь еліптичного типу приводить вивчення різних стаціонарних процесів (електростатика, магнітостатика, потенціальний рух рідини, що не стискується, тощо). Найпростішими з них є рівняння (U=0 (Лапласа); (U=C (Пуассона), а також рівняння, яке розглядав Ейлер: (U+kU=0, і полігармонійні рівняння.

В кожному з цих типів рівняннь шукана функція U залежить від двох змінних. Розглядаються також відповідні рівняння і для функції з більшими числом змінних. Так хвильове рівняння з трьома незалежними змінними має вид:



рівняння теплопровідності з трьома незалежними змінними має вид:



рівняння Лапласа з трьома незалежними змінними має вид:



Тема: Рівняння коливань струни.

В математичній фізиці під струною розуміють гнучку ніть. Напруги, що з’явились в струні в любий момент часу, напрямлені по дотичній до її профелів. Нехай струна довжини l в початковий момент напрямлена по відрізку осі 0Х від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках Х=0 і Х=l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім предоставить самій собі або, не відхиляючи струни, придати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і придати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть виконувати рух – говорять, що струна починає коливатись. Задача заключається у ввизначенні форми струни в любий момент часу і у визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.

Розглянемо малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати , що рух точок струни проходить перпендикулярно осі 0Х і в одній площі. При цьому препущенні процес коливань струни описується однією функцією u(x,t), яка дає величину переміщення точки струни з абсцисой х в момент t (рис.1).

Так як ми розглядаємо малі відхилення струни в площі (x,u), то будемо припускати, що довжина елемента струни (М1М2 рівна її проекції на вісь 0Х, (М1М2=х2-х1. Також будем припускати, що натяг в усіх точках струни однаковий; позначимо його як Т.

Розглянемо елемент струни ММ' (рис 2).

На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили Т. нехай дотичні створять з віссю 0Х кути ( та (+(( . тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент ММ', буде рівна Тsin((+(()-Tsin(. Так як кут ( малий, то можна покласти tg(=sin(, і ми отримаємо :



(тут ми примінили теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних душках).

. Отже, по принципу Даламбера будем мати:



. (1)