Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

Це і є хвильове рівняння – рівняння коливань струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u(x,t) повинна ще задовільнятись граничним умовам, вказуючим, що робиться на кінцях струни (х=0 і х=1), та початковим умовам, описуючим стан струни в початковий момент (t=0). Суцільність граничних та початкових умов називається краєвими умовами.

Нехай, наприклад, як ми припускали, кінці струни при х=0 і х=1 нерухомі. Тоді при довільному t мають виконуватись рівності:

u(0,t)=0,

u(l,t)=0.

Ці рівності є граничними умовами для нашої задачі.

В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути

. (2)

Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією ((х).Таким чином, має бути

. (3)

Умови (2) і (3) являються початковими умовами.

Тема: Розв’язок задачі Коші методом Даламбера.

Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння – метод Даламбера.

Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:

Знайти рішення хвильового рівняння

Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),

Задовільняюче початковим умовам

U(x,0)=((x); ut(x,0)=((x)

функції.

Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння

A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0

Прийме вид -a2dt2+dx2=0,

або dx2-a2dt2=0.

Воно розпадається на два рівняння:

dx-adt=0 і dx+adt=0

інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2

введемо нові змінні

(=x-at, (=x+at.

Тоді

(х=1, (t=-a, (x=1, (t=a,

ux=u((x+u((x=u(+u(,