Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

Отже, в рівності (16) має бути

.

Тоді,

. (17)

Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)

.

Підставляючи замість ( його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):

. (18)

Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:

. (19)

Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.

Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію

0 при -(
(*(х)= ((x) при x0(x(x0+(x, (20)

0 при x0+(x
Тоді функція

(21)

є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення (*(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:

.

Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:

. (22)

Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+(x], де вона рівна ((х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо ( - лінійна густина стержня, с – темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+(x] при t=0 буде

(Q(((()(x(c. (23)

Розглянемо далі функцію

. (24)

зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній ( було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c(.

Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.

Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f((), де ( - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r,(), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа

. (1)

і на окружності кола що приймає задані значення