Основні задачі математичної фізики, Детальна інформація

h\x00B3

h\x00B3

h\x00B3

h\x00B3

h\x00B3

h\x00B3

h\x00B3

\x1A00егральное исчисление”, т.ч., Москва, 1972.

П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. “Висшая математика, специальные главы”, Киев, 1981.

О.В.Мантуров та ін. “Математика в поняттях, означеннях, термінах”, т.ч., Київ, 1986.

П.Е.Данко, А.Г.Попов “Высшая математика в упражнениях и задачах”, ч.2, Москва, 1974.

Лекція №2.

Тема: Рівняння теплопровідності.

Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.

Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий – з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) – температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою

(1)

розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1=(х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час (t, буде рівно

(2)

те ж саме для січної з абсцисою х2

(3)

Прилив тепла (Q1-(Q2 в елемент стержня за час (t буде рівний:

(4)

).

Цей прилив тепла за час (t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину (U:

(Q1-(Q2=cq(xS(U

(5)

де с – теплоємність речовини стержня, q – щільність речовини стержня (q(xS – маса елемента стержня).

Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла (Q1-(Q2, вийде:



або