Задачі з геометрії, Детальна інформація

. Отже, з усіх трикутників із заданою основою і протилежним кутом рівнобедрений має найбільшу бісектрису.

Задача 5. З усіх трикутників із заданими основою с і периметром 2р знайти той, у якого опущена на основу висота є найвищою.

.

. Позначимо |AC|= x, тоді |CB|=2p-c-x. Підставимо ці значення замість a i bу формулу для hc, отримаємо функцію:

.



. А це квадратична функція, яку можна подати у такому вигляді:



АВС – рівнобедрений. Отже, з усіх трикутників із даними основою і периметром рівнобедрений має найбільшу висоту.

Задача 6. З усіх трикутників із заданими основою с і периметром 2р знайти той, у якого проведена до основи медіана є найменшою.

Розв’язання. Довжина медіани me трикутника визначається через довжини його сторін а, b, с за такою формулою:

.

; |AB|=c i |AD|=|DB|. Введемо позначення: |AC|=x, 0


Оскільки

,

то розв’язавши рівняння

2р-с-2х = 0,

знаходимо критичну точку функції me(х):

АВС – рівнобедрений. Отже, з усіх трикутників із заданими основою і периметром рівнобедрений має найменшу медіану.

Задача 7. З усіх рівнобедрених трапецій, три сторони яких мають однакову довжину а, знайти ту, яка має найбільшу площу.

Розв’язання.

.

Тоді |BE| = a sin x, |AE| = a cos x, а площа трапеції:

S(x)=a2sin x (1+cos x),

Оскільки

0.

функція S(x) набуває найбільшого значення. Отже, з усіх рівнобедрених трапецій з трьома сторонами однакової довжини найбільшу площу має та, в якої кут при основі дорівнює 600.

Задача 8. З квадратного листа жерсті із стороною а треба виготовити відкриту зверху коробку, вирізавши по кутах квадратики і загнувши утворені краї. Якою повинна бути сторона основи коробки, щоб її об’єм був максимальним?

Розв’язання.