Задачі з геометрії, Детальна інформація

Отримали, що





Задача 12. Довести, що медіана, проведена до більшої сторони трикутника, утворює зі сторонами, які її заключають, кути, величиною кожного з них не менше половини найменшого кута трикутника.

Розв’язання.

. за теоремою синусів для \x0394САМ запишемо:

.

.



За теоремою косинусів для АВ з \x0394АВС:

АВ2=ВС2+АС2-2АС*ВС*cos
c2=a2+b2-2ab cos


Використавши вище проведені перетворення, запишемо:



Задача 13. Трикутник АВС і АМС розміщені так, що МС перетинає АВ в точці 0, причому АМ+МС = АВ+ВС. Довести, що АВ = ВС, то ОВ > OМ.

Розв’язання.

. Розглянемо трикутник МВА. Запишемо для сторони АМ за допомогою теореми косинусів рівність:

;

;

:

.

Розглянемо трикутник МВС. Використовуючи теорему косинусів, запишемо для сторони ВС:

;

;

Одержимо:

.



Оскільки а-с = b-a, за умовою, то