Теореми про диференціальні функції, Детальна інформація

Аналогічно до попереднього розв’язання маємо:



, який зображав би цю функцію на відрізку [-1; 1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е.

З попереднього прикладу маємо



підберемо таке п, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | х | ( 1, число с лежить між 0 і х та ес ( е|х| ( е:



Отже, п = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула

.

Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:

.

.

Маємо



Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і п = 3, дістанемо

,

де с лежить між 1 і х, тому

.

Формулу (1) можна записати у вигляді

. (10)

, тому формула (10) матиме вигляд

. (11)

Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.

Приклади

Розкласти многочлен Р3(х) = 1 – 2х + 3х2 – 4х3 за степенями бінома х + 1.

Скориставшись формулою (11) при х0 = –1, маємо



тому

.

Розкласти многочлен Рп(х) = (b + x)n за степенями х.