Теореми про диференціальні функції, Детальна інформація

Рис. 1

Із формули (3) видно, що залишковий член Rп (х) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок п многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше степеня.

Приклади

Написати формулу Маклорена для функції f(х)= sin x і оцінити залишковий член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.

Оскільки

,

то

.

Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f(х)= sin x формулу Маклорена

,

де с лежить між 0 і х .

, то для залишкового члена справедлива оцінка

.

. Покладемо k = 4, тоді

.

Це означає, що наближена формула



з точністю до п’яти знаків.

наближає функцію sin x з точністю до 0,01. На рис. 2 показано, як із збільшенням степеня п розширюється „сфера дії” перших трьох многочленів Тейлора:

і т. д.

Рис.2

Оскільки функція f(х)= sin x і її многочлени Тейлора є функції непарні, то на рис. 2 зображена лише „половина” графіків.

знайти формулу Маклорена для функції f(х)=ln (1 + х).

Знаходимо значення даної функції і її похідних при х = 0:





Підставляючи значення похідних у формулу Маклорена, маємо

.

Розкласти за формулою Маклорена функції:

, ( ( R.