Теореми про диференціальні функції, Детальна інформація

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що

(3)

де точка С лежить між точками х0 і х.

, і розглянемо функцію

. (4)

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеться точка с ( (х0; х) для якої

. (5)

Якщо в функцію (4) підставити значення функції ( (x, t) з формули (2) і результат про диференціювати по t, то знайдемо

. (6)

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо

.

Розв’язуючи це рівняння відносимо Rп (х), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rп (х) – залишковим членом у формулі Лагранжа. Величина Rп (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію f(х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rп (х) при х ( х0 і фіксованому п, а також при п ( \x221E .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

(7)

де точка с знаходиться між 0 і х (с = ( х, 0 ( ( ( 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х – х0 = (х, х = х0 + (х:

(8)

Оскільки f(х0 + (х) – f(х0 )= (у, f (п)(х0) (хп = dпу, то формулу (8) можна записати у вигляді

. (9)

Покажемо, що коли функція f (п+1)(х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rп (х) при х ( х0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (х – х0)п:

,

тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

(це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого диференціала); з точністю до величини ((х(3

;

з точністю до величини (х4

.

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rп (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене значення функції f(х).

виявляється найменшою.