Теореми про диференціальні функції, Детальна інформація

Перемножимо почленно (5) і (6):

. (7)

Вибираючи значення \x03B5 достатньо малим і переходячи в останній нерівності до границі при х ( а, дістаємо (4).

Аналогічно розглядається випадок, коли х ( (.

:



(8)

Границя відношення нескінченно великих величин дорівнює відношенню їх похідних у разі існування останніх.





Приклад



Зауваження. У формулах (4), (8) з існуванням границь відношення похідних випливає існування відношення функцій. Обернене твердження не буде правильним.



Згідно з правилом Лопіталя маємо:



.

Але



( Зауваження. Правило Лопіталя є ефективним методом розкриття невизначеностей. Проте застосування його не завжди дає змогу спростити здобутий вираз і знайти шуканий результат.

.



Якщо застосувати правило Лопіталя вдруге, то функція під знаком границі набере початкового вигляду. Таким чином, за цим правилом не вдається розкрити невизначеність.

Але



ВИСНОВОК:

можна розкривати за правилом Лопіталя (1),(4),(8).





, а далі застосовується правило Лопіталя.