Теореми про диференціальні функції, Детальна інформація

-



"

$

4

6

L

‚

„

\x00AA

¬

®

°

I

\x00D0

th

\x00B2

j

? Очевидно, цю задачу найпростіше можна „розв’язати” за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання про те, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов’язане з обробкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту одержимо масив значень (хі ; уі), то спочатку будують графік залежності у =,а потім цю залежність описують аналітично, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обґрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (п+1)-го порядку включно, і нехай х – довільне значення аргументу із вказаного околу (х ( х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка с, що справедлива формула

(1)



Позначимо многочлен, що стоїть у правій частині формули (1), через ( (х, х0):

(2)

Його називають многочленом Тейлора степеня п для функції.

Різницю між функціями f(х) і ( () позначимо через Rп (х):