Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

(х). Дійсно, підставивши функцію z(х) в рівняння (85), дістанемо:

,

або



— розв'язки рівняння (85). Згідно з цим зауваженням частинними розв'язками рівняння (85) є функції



Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки

,

тому загальний розв'язок рівняння (85) запишеться у вигляді

(89)

= k. За формулою (86) дістанемо один з розв'язків:



та підставивши їх у рівняння (85), дістанемо

,

або

.

= С1х + С2, де С1, С2 — довільні сталі. Поклавши C1 = 1, С2 = 0 (нас цікавить який-небудь розв'язок u(х) \x2260 0), знайдемо другий частинний розв'язок рівняння (85):

.

— лінійно незалежні, тому загальний розв'язок рівняння (85) має вигляд

(90)

Приклади

1. Знайти загальний розв'язок рівняння

.

=3. За формулою (88) шуканий розв'язок має вигляд:



2. Розв'язати рівняння



. Загальний розв'язок дістанемо за формулою (89):

.

Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною