Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

(91)

де р, q — задані дійсні числа, f(х) \x2260 0 — задана функція, неперервна на деякому проміжку (а, b).

Згідно з теоремою п. 3.3, загальний розв'язок такого рівняння являє собою суму частинного розв'язку рівняння (91) і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв'язок однорідного рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння (91) можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих (п. 3.4). Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв'язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

І. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

(92)

— дійсне число, Рn(х) — многочлен степеня n. Можливі такі випадки:

не є коренем характеристичного рівняння

(93)

Тоді диференціальне рівняння (91) має частинний розв'язок виду

, (94)

де А0, Al, ..., Аn — невизначені коефіцієнти.

дістанемо

(95)

.

цього рівняння;

збігається з одним коренем характеристичного рівняння (93), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв'язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

(96)

є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв'язок рівняння (91) шукають у вигляді

(97)

Об'єднаємо випадки а) — в): якщо права частина рівняння (91) має вигляд (92), то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді



не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо г = 0.

II. Нехай права частина в рівнянні (91) має вигляд

, (98)

= 0).

Частинний розв'язок рівняння (91) треба шукати у вигляді

, (99)