Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

і.

Зокрема, якщо права частина рівняння (91) має вигляд

x, (100)

\x032A\x5C6A

\x032A\x516A

\x7300\x0948\x1404— відомі дійсні числа, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді

(101)

і.

. Те саме стосується многочленів QS(x) та LS(x) у формулі (99), причому невизначені коефіцієнти при одних і тих же степенях х у цих многочленах повинні бути, взагалі кажучи, різними.

Зауваження 2. Якщо права частина рівняння (91) є сумою декількох різних за структурою функцій виду (92) або (98), то для відшукання частинного розв'язку потрібно використати теорему про накладання розв'язків (п. 3.4).

Зауваження 3. Використаний метод підбору окремого частинного розв'язку рівняння (91) можна застосовувати лише для певних диференціальних рівнянь, а саме для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами І з спеціальною правою частиною виду (92) або (98). В інших випадках частинний розв'язок треба шукати методом варіації довільних сталих.

Приклади

1. Розв'язати рівняння у" — 2у' + у = 2х + 3.

, де А і В — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні у*' = В, у*" = 0 і підставивши їх у рівняння, дістанемо

— 2В + А + Вх = 2х + 3.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь



звідки В = 2, А = 7. Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд у* = 7 + 2х, тому



шуканий загальний розв'язок.

.

, то частинний розв'язок шукаємо у вигляді

у* = Q0(х) е3х, тобто у* = Ае3х,

де А — невідомий коефіцієнт.

Знайшовши похідні (у*)' = 3Ае3х, (у*)" = 9Аe3х і підставивши їх у рівняння, дістанемо

,

— його загальний розв'язок.

Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

Застосуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії (див. [26]), сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку