Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

, (102)

де al, a2, ..., аn — сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (102) називається алгебраїчне рівняння n-го степеня виду

(103)

— невідоме дійсне чи комплексне число.

, ..., kn.

.

комплексно-спряжених коренів кратності р > 1 відповідає 2р частинних розв'язків виду

;



, ..., уn. Можна показати, що знайдені частинні розв'язки є лінійно незалежними, і загальний розв'язок рівняння (102) знаходиться за формулою

(104)

Нехай тепер задано неоднорідне рівняння n-го порядку

, (105)

\x2260 0 — неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв'язком рівняння (105) є функція

,

— загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (102), а у*(х) — частинний розв'язок рівняння (105).

рівняння (105) є функцією спеціального виду (98), то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати за формулою (99). Якщо права частина f(х) не є функцією виду (98), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (105) суть цього методу така.

Нехай функція (104) є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння (102). Знаходимо частинний розв'язок рівняння (105) за тією ж формулою (104), вважаючи, що величини С1, С2, ..., Сn — функції від х, тобто покладемо

, (106)

— невідомі функції.

Складемо систему рівнянь



— довільні сталі, то зразу дістанемо загальний розв'язок.

Приклади

.

= х, у3 = х2, у4 = cos 2ч, у5 = sin 2х. Загальний розв'язок даного рівняння знаходимо за формулою (104):



, який задовольняє початкові умови у (0) = 2, у'(0) = 2, у"(0) = — 1.