Інтерполяція функції в прямокутнику, Детальна інформація

Далі розглянемо інтерполяційні агрегати у вигляді многочленів (які будемо називати інтерполяційними многочленами для функції двох змінних) і двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів, оскільки такі представлення є найчастіше вживаними і краще вивченими. Але перед тим як приступити до побудови двовимірної інтерполяційної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвійні різниці для функції двох змінних, які нам для цього знадобляться.

§2. Подвійні різниці для функції двох змінних.

:

.

.

по змінній х має вигляд (у вважається сталою):



а різниця (х вважається сталою)



) ми будемо використовувати позначення:



Поділені різниці функції від двох змінних можуть бути отримані за допомогою формули для різниць функції від одної змінної. Власне ми можемо утворити певну суперпозицію двох таких формул:





тоді





.

таким чином, що вони не змінюються при яких завгодно їх перестановках. Наприклад:

.

§3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних.

Згідно загальної інтерполяційної формули Ньютона для функції однієї змінної маємо:



Але по тій самій формулі Ньютона ми можемо записати:





, яка залежить від поділених різниць:

(1)

де