Інтерполяція функції в прямокутнику, Детальна інформація

(5)

додаванням однакової кількості точок n до розбиття по кожній координаті. А оскільки у випадку лінійного розбиття справедливість формули доведено, то ми маємо можливість одночасно збільшувати розбиття по обох змінних на кожному кроці на 1.

. Для цього розглянемо інтерполяційний дріб виду:

(6)

Зробимо позначення

. (7)

Тоді (6) набуває вигляду

.

, то



, то в кінцевому результаті маємо:

. (8)

.

Тут



.

.

Твердження доведено.

§6. Результати і висновки.

В цій роботі були розглянуті деякі цікаві властивості двовимірних інтерполяційних агрегатів. Зокрема були доведені твердження 1 – 3 (див. § 5), що дають відповіді на питання про кількість коефіцієнтів двовимірного інтерполяційного ланцюгового дробу, про степінь многочленів чисельника та знаменника цього дробу по змінним х та у а також вказують зручний спосіб обчислення його (дробу) коефіцієнтів.

Для проведення обчислювальних експериментів були складені дві програми, які реалізують алгоритми двовимірної інтерполяції многочленами і дробами. Саме дві, оскільки при одних і тих же початкових умовах (функція, область і набір вузлів) побудова двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів є значно менш ресурсоємним алгоритмом, і тому для дробів відкривається можливість перевірити точність при таких наборах інтерполяційних вузлів із заданої області, які містять в декілька разів (а то і в десятки разів) більше точок, ніж для многочленів. Але для порівняння результатів ці програми були об’єднані в одну, текст якої подано в додатку.

В ході обчислювальних експериментів було відмічено цікаві результати стосовно точності двовимірних інтерполяційних агрегатів, а саме : якщо при одновимірній інтерполяції із зростанням кількості точок розбиття проміжку похибка наближаючого агрегату прямує до нуля, то у випадку двох змінних можна спостерігати своєрідне “коливання” точності то в кращу, то в гіршу сторону. Найбільш яскраво це проявлялося при інтерполяції дробами і многочленами з вибором рівномірно розташованих на проміжках вузлах, але коли за вузли бралися корені многочлена Чебишева, то у многочленів збіжність значно покращувалася. Хоч такий вибір вузлів і не мав такого ж позитивного впливу на збіжність двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів.

Нижче подано добірку результатів найбільш характерних обчислювальних експериментів. Вузли рівномірно розподілені по проміжках.



  Дроби Многочлени

Nx Ny Абсолютна похибка Відносна похибка Абсолютна похибка Відносна похибка

1 1 0.03359589352 0.17112619041 0.03359589352 0.17112619041

1 3 0.07979407980 0.55855855856 0.02794673681 0.12772351615

1 5 0.10256410257 0.71794871796 0.02794673681 0.12772351615

1 7 0.11327134404 0.79289940829 0.02794673681 0.12772351615