Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація

(1)

де p, q –дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді

(2)

де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (2) в рівняння (1) дістанемо



, то

(3)

Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (1).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три випадки:

);

;

ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).

Розглянемо кожен випадок окремо.

. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є функції







Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за формулою

(4)

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:



у формулу (2), знайдемо розв’язки



За формулою Ейлера



маємо



є розв’язком рівняння (1), то розв’язками будуть також функції u(x) та v(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (1), дістанемо: