Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація

Лінійні диференціальні рівняння п-го порядку.

Застосовуємо методи знаходження розв’язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії, сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння п-го порядку

(12)

де а1, а2,...,ап – сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (12) називається алгебраїчне рівняння п-го степеня виду

(13)

де k – невідоме дійсне чи комплексне число.





комплексно-спряжених коренів кратності р>1 відповідає 2р частинних розв’язків виду



Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння (13) дорівнює п, тому кількість всіх частинних розв’язків рівняння (12), складених згідно з цією теоремою, дорівнює п , тобто збігається з порядком рівняння (12). Позначимо ці частинні розв’язки через у1, у2, ..., уп. . Можна показати, що знайденні частинні розв’язки є лінійно незалежними, і загальний розв’язок рівняння (12) знаходиться за формулою

(14)

Нехай тепер задано неоднорідне рівняння п- го порядку

(15)

Де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв’язком рівняння (15) є функція:



- загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння (12), а у*(х) – частинний розв’язок рівняння (15).

рівняння (12) з’ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв’язку у*(х). Якщо права частина f(x) рівняння (15) є функцією спеціального виду (8), то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати за формулою (9). Якщо права частина f(x) не є функцією виду (8), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (15) суть цього методу така.

Нехай функція (14) є загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння (12). Знаходимо частинний розв’язок рівняння (15) за тією ж формулою (14), вважаючи, що величини С1, С2, ..., Сп – функції від х, тобто покладемо



де С1(х), С2(х), ..., Сп(х) – невідомі функції.

Складемо систему рівнянь



- довільні сталі, то зразу дістанемо загальний розв’язок.

Приклад.



має корені k1=k2=ks=0, k4=2i, ks=-2i.згідно з теоремою маємо частинні розв’язки: у1=1, у2=х, у3=х2, у4=cos2x . y5=sin2x. Загальний розв’язок даного рівняння знаходимо з а формулою (14):