Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація

Або



Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає, що функції u та v – розв’язки рівняння (1). Згідно з цим зауваженням частинними розв’язками рівняння (1) є функції



Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки



Тому загальний розв’язок рівняння (1) запишеться у вигляді

(5)

. За формулою (2) дістанемо один з розв’язків:



та підставивши їх у рівняння (1), дістанемо



Або



, знайдемо другий частинний розв’язок рівняння (1):



- лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд



Приклад

Знайти загальний розв’язок рівняння



За формулою (4) шуканий розв’язок має вигляд:



Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

(5)

- задана функція, неперервна на деякому проміжку (a;b).

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного розв’язку рівняння (5) і загального розв’язку відповідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.

Насамперед слід зазначити, що частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (5) можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною частинний розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.

Розглянемо деякі з таких рівнянь.