Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація

(5)

- многочлен степеня п. Таким чином, зліва і справа в тотожності (5) стоять многочлени степеня п. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях п, дістанемо систему п+1 невідомих коефіцієнтів Аі многочлена Qn(x).

Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму в якій потрібно шукати частинний розв’язок рівняння (5), залежно від виду правої частини f(х) цього рівняння:

збігається з одним коренем характеристичного рівняння (7), тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння (5) треба шукати у вигляді

(6)

є двократним коренем рівняння (93), то частинний розв’язок рівняння (5) шукають у вигляді

(7)

Об’єднаємо випадки а).-в).: якщо права частина рівняння (5) має вигляд (6), то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді



не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо r=0.

ІІ. Нехай права частина в рівнянні (5) має вигляд

, (8)

).

Частинний розв’язок рівняння (5) треба шукати у вигляді

, (9)



зокрема, якщо права частина рівняння (5) має вигляд

(10)

де А, В – невідомі дійсні числа, то частинний розв’язок цього рівняння треба шукати у вигляді

(11)

.

Приклад.



і підставивши їх у рівняння дістанемо

-2В+А+Вх=2х+3.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістанемо систему рівнянь



, тому



шуканий загальний розв’язок.