Визначені та невласні інтеграли, Детальна інформація

Реферат на тему:

Визначені та невласні інтеграли

Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних дослідженнях.

1. Означення та властивості визначеного інтеграла

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

Довжини цих частин





Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати



Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто



.

Тоді

(1)

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: \x0394t1,\x0394t2,…,\x0394tn.

.

а за час T - t0 вона пройде шлях



Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли \x0394tk\x21920, тоді змінна швидкість на проміжку \x0394tk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max \x0394tk\x2192 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення