Екстремальні задачі в нормованих просторах, Детальна інформація

Реферат на тему:

Екстремальні задачі в нормованих просторах

множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.

такий що

(1)





Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають границю

(2)

де збіжність розуміють по нормі простору Y.

називають слабою похідною (або похідною Гато).

Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для обчислення дифференціала Гато

(3)

Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає диференційованість за Фреше.

Має місце наступна





Справедлива наступна

диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x) диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має вигляд

(4)

і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).

Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці, причому

(5)

і Q - симетричний оператор.





диференційовне (в розумінні Фреше).





то справедлива формула