Елементи теорії похибок, Детальна інформація

Реферат на тему:

Елементи теорії похибок



Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки, що виникають при розв’язуванні задачі, можна поділити на три групи:

неусувна похибка

похибка методу

похибка обчислень

Неусувна похибка є наслідком

а) неточності вхідних даних, що входять до математичного описання задачі,

б) невідповідності математичної моделі реальній задачі (інколи цю похибку називають похибкою математичної моделі).

Похибка методу пояснюється тим, що для розв’язування математичної задачі доводиться використовувати наближені методи, оскільки отримання точного розв’язку необмеженої або неприйнятно великої кількості арифметичних операцій, а в багатьох випадках і просто неможливо.

Похибка обчислень виникає при вводі-виводі даних до ПЕОМ та при виконанні математичних операцій.

Основна задача теорії похибок – знаходження області невизначеності результату.

Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=4,167493 і його потрібно заокруглити до п’яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=4,16749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=4,167493 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=4,1675. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює, або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1.

Зауваження. Інколи вважають, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює 5, а попередня до нього цифра парна, то вона не змінюється, якщо ж попередня цифра непарна, то вона збільшується на одиницю.

Розглянемо приклади заокруглення чисел:

x=2,8497621 x=345,453275

x*=2,849762 x*=345,45328

x*=2,84976 x*=345,4533

x*=2,8498 x*=345,453

x*=2,850 x*=345,45

x*=2,85 x*=345,5

x*=2,8 †\x2A78\x333D\x3534\x780D\x3D2A\x2033†††††††††††††††††††††††††††\x2A78\x333D\x352C\x31B7\x3230\x200D†††††††††††††††††††††††††††††††\x2A78\x333D\x31B7\x3230

Визначимо, що при заокруглені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь 10.

1. Абсолютна та відносна похибки

Нехай x – точне значення деякої величини, а x* – її відоме наближене значення.

Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина \x0394x*, що задовольняє умові

. (1)

Відносною похибкою числа x* називається деяка величина \x03B4x*, що задовольняє умові

. (2)