Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації експериментальних даних, Детальна інформація

3. Вибір функцій для апроксимації експериментальних даних

В загальному випадку вибір придатного вигляду функції, що найбільш точно описує результати експерименту, математично обґрунтовується і являється досить складною задачею, що виходить за межі наданої роботи.

Частіш за все дослідники використовують рівняння регресії типу:

(19)

де n – натуральне число, n>0.

Вибір таких рівнянь (19), як правило, математично не обґрунтовується, а його вірність доказується невеликими розбіжностями даних, що обчислюються, з результатами експерименту.

Для більшості випадків існують формули, що виведені теоретично, і задача зводиться до того, щоб на підставі результатів експерименту знайти коефіцієнти, що входять в формулу.

Існує емпіричний спосіб підбора функцій. За експериментальними даними будують графік і за його виглядом вибирають функцію з кількох можливих [2, 3].

Для нашого випадку важливо, щоб вибрану функцію можна було б потім привести до лінійного вигляду (за допомогою зміни перемінних, логарифмування обох часток тощо). В табл..1 надані найбільш уживані емпіричні формули та заходи приведення їх до лінійного вигляду.

Однак якщо точне перетворення функції неможливе, її можна з розумним наближенням привести до лінійного вигляду шляхом розкладання, наприклад, в ряд Тейлора або Фур'є (якщо функція періодична). Такі розкладення в ряд для багатьох функцій надані в довідниках [4, 6].

Емпіричні формули для апроксимації експериментальних даних

Таблиця 3.1

№/п Емпірична формула Приведення до лінійного вигляду Лінійний вигляд емпіричної формули

1. y=axb X=lg x, Y=lg y Y=lg a + bX

2. y=aebx Y=ln y Y=ln a + bx

3. y=axb+c X=lg x, Y=lg(y-c) Y=lg a + bX

4. y=aebx+c Y=ln(y-c) Y=ln a + bx

5. y=ax2+bx+c X=x2 y=aX+bx+c

6. y=(ax+b)/(cx+d) Y=(x-x1)/(y-y1), тогда Y=A+Bx y=y1+(x-x1)/(A+Bx)

7. y2=ax2+bx+c Y=y2, X=x2 Y= aX+bx+c

8. y=aebx+cxx Y=ln y, X=x2 Y=cX+bx+(ln a)

9. y=1/(ax2+bx+c) Y=1/y, X=x2 Y= aX+bx+c

10. y=x/(ax2+bx+c) Y=x/y, X=x2 Y= aX+bx+c

11. y=a+(b/x)+(c/x2) Z=1/x, X=Z2 y= a+bZ+cX

12. y=axbecx Y=ln y, X=ln x, A=ln a Y=A+bX+cx

4. Використання апроксимуючих функцій з практичною метою

Практична необхідність в апроксимуючих функціях визначається тим, для чого призначені конкретні експериментальні дані, що описуються цими функціями. В загальному випадку одержані експериментальні дані призначені для наступного їх використання в розробках наукових теорій, для практичних висновків про те чи інше явище тощо. Складаються ці дані в наступних формах:

таблиці;

функціональні залежності;

графіки;