Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації експериментальних даних, Детальна інформація

Розглянемо наступну задачу. Для навчання у ліцеї знадобилися зошити і ручки. Вартість першої купівлі 6 зошитів і 2 ручок склала С1 = 4,8 грн. Друга купівля 8 зошитів і 3 ручок коштувала С2 = 6,8 грн. За звичаєм запитують, яка вартість одного зошита (Т) та однієї ручки (Р)?

Поставимо більш практичне питання: яка вартість купівлі будь-якої заданої кількості зошитів і ручок?

За життєвим досвідом можна припустити, що вартість купівлі буде визначатися формулою:

– кількість відповідно зошитів і ручок в черговій купівлі приладів для навчання.

Для визначення Т і Р складемо систему двох рівнянь:

(7)



За правилом Крамера







Рівняння (6) приймає вигляд:



На рис.3 показана плоска поверхня, що описується лінійним рівнянням з двома невідомими (6). Поверхня побудована за допомогою однієї з програм Mathcad 2000 [4].



Рис.3. Графік функції C = 0,4x +1,2y.

2.2. Апроксимація показниковою функцією

Однак не обов’язково шукати відповідь на поставлене питання у вигляді рівняння (6). Припустимо, що рішення бажано бачити у вигляді функції:

, (8)

де А – сталий коефіцієнт.

Приведемо рівняння (8) до лінійного вигляду методом логарифмування обох часток, беручи за основу е:

(9)

Введемо позначення:



:

(10)

Щоб визначити три невідомих коефіцієнти з рівняння (10), треба мати систему трьох рівнянь. Мусимо зробити ще й третю купівлю, наприклад, двох зошитів і однієї ручки. Зрозуміло, що ціна купівлі складе С3 = 2 грн.

Тоді маємо наступну систему рівнянь:

(11)

Для якої: