Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації експериментальних даних, Детальна інформація

5. Якщо кожний елемент якогось стовпця (строки) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників: в одному замість кожної суми стоїть тільки перший доданок, в другому – тільки другий (інші елементи в обох визначниках ті ж самі, що й в наданому).

6. Якщо до усіх елементів якогось стовпця додати доданки, що пропорційні відповідним елементам другого стовпця, то новий визначник дорівнює старому. Те ж саме для строк.

Знання властивостей необхідно для того, щоб простіше й швидше обчислювати визначник. Зокрема, розклад визначника бажано проводити по елементах тієї строки або стовпця, де є нуль. Тоді яким би не був громіздким мінор, але помножений на елемент, що дорівнює нулю, він даси добуток, що також дорівнює нулю. Виносячи за знак визначника спільні множники, переставляючи строки, стовпці, слід прагнути створити такий рівносильний визначник, в якому максимальне число елементів дорівнює нулю або одиниці.

1.2.3.2. Рішення системи рівнянь за допомогою визначників

Система рівнянь (1) має за методом Крамера наступне рішення, що виражається в загальному вигляді:

,

- визначник системи;

- визначники при невідомих параметрах системи.



Визначники третього порядку обчислюються за формулою (4). Якщо необхідно вирішити систему рівнянь більш високого порядку методом Крамера, то визначники більш високого порядку розкладають на добуток елементів якоїсь строки або стовпця (краще тієї строки, де кілька елементів – нулі) на їх алгебраїчне доповнення. Потім мінори алгебраїчних доповнень (тобто визначники більш низького порядку) знову розкладають вище згаданим способом. І так продовжують до тих пір, поки вихідний визначник системи буде виражений у вигляді алгебраїчної суми добутків елементів на визначники третього порядку, який обчислити нескладно, використовуючи формулу (4).

Приклади рішення систем лінійних рівнянь за методом Крамера будуть викладені далі в главі 2.

2. Апроксимація результатів експерименту функціями різного вигляду

В загальному вигляді поставлену в цій главі задачу можна представити так.

Використовуючи комп'ютерну програму Advanced Grafer, зробимо випадковий набір „експериментальних” точок в координатах x, і y (див. рис.2) і з'єднаємо їх ломаною прямою 1. Якщо прийняти до уваги те, що „експериментальні результати” отримані з обмеженою точністю, то для їх апроксимації доцільно застосовувати метод найменших квадратів (МНК). Программа Advanced Grafer автоматично апроксимує ці „результати” функціями восьми типів. Для нашого випадку неможлива апроксимація функціями гіперболічного, логарифмічного, показниково-степінного та експоненціального типів (згідно з класифікацією, що застосована в програмі).

Графіки, що надані на рис.2, апроксимують за допомогою МНК „експериментальні результати” функціями лінійного (графік 2) і поліноміального (графіки 3-6) типів. Бачимо, що в поліномах при зростанні степеню від 2 до 5 (графіки 3-5), а потім до 9 (графік 6), точність апроксимації зростає. Але навіть функція:

y = 3,93(10-4(x9 +0,02(x8-0,32(x7+3,13(x6-17,75(x5+57,94x4-102,28x3+83,59x2-20,31x+2,00

на ділянці 4 \x2264 х \x2264 7 не збігається з „експериментальними результатами”, а на ділянці

8 \x2264 х \x2264 10, скоріш за все, зовсім непридатна.

У зв'язку з цим, необхідно уточнити задачу: в наданій роботі показано, як можна визначати вигляд апроксимуючих рівнянь (функцій) для випадків, коли апроксимуюча крива проходить крізь експериментальні точки

Метод найменших квадратів в наданій роботі не розглядається

Слід відмітити, що обсяг обчислень у прикладах, що надані нижче, менший, ніж в МНК, тому методику, що розглядана в цій главі, при малій кількості експериментальних даних і невисоких вимогах до точності апроксимації можна застосовувати замість МНК.

Рис.2. Графічна апроксимація експериментальних даних:

1 – «експериментальні дані»;

2 – апроксимація лінійною функцією;

3 – апроксимація поліномом другого степеню;

4 – апроксимація поліномом третього степеню;

5 – апроксимація поліномом четвертого степеню;

6 – апроксимація поліномом максимально можливого,

дев'ятого степеню.

2.1. Апроксимація лінійною функцією двох аргументів