Застосування систем лінійних рівнянь для апроксимації експериментальних даних, Детальна інформація

Висновки………………………………………………………………………………. 25

Література……………………………………………………………………………... 26

Додаток

1. Креслення А-1557.005 „Рыльце”........................................................................ 27

2. Креслення А-1474.000 „Штамп для рыла»”..................................................... 28

3. Раціоналізаторська пропозиція №0403............................................................. 29



Вступ

В практичній діяльності людини часто виникають такі задачі, коли маючи обмежену кількість експериментальних даних, треба спрогнозувати, які наслідки слід очікувати при інших умовах експерименту над тим же об'єктом. В математиці для цієї мети широко використовують рівняння різного вигляду, які з той чи іншою похибкою моделюють поведінку об'єкта. Підбір таких рівнянь називають апроксимацією експериментальних даних. Зокрема, апроксимація усередині області одержання експериментальних даних називається інтерполяцією, а за межами цієї області – екстраполяцією.

У більшості випадків підбір підходящих рівнянь ускладнюється тим, що експериментальні дані отримані приблизно і вміщують похибку експерименту та обчислювань. Очевидно, що і рівняння, яке вибрали, не завжди забезпечує точну збіжність розрахункових даних з експериментом. Таке рівняння підбирають різними методами, серед яких найбільш популярний метод найменших квадратів (МНК). Цей метод буде розглянутий автором у наступній науково-практичній роботі.

В наданій роботі поставлено мету навчитися визначати вигляд апроксимуючих рівнянь (функцій) у випадках, коли крива або поверхня проходить скрізь усі експериментальні точки., тобто немає потреби визначати найменшу величину квадрата різниці розрахункових і експериментальних значень, як цього потребує МНК. При цьому були вирішені наступні задачі:

- вивчені методи рішень систем лінійних алгебраїчних рівнянь;

- досліджена методика апроксимації експериментальних даних функціями кількох змінних, яка включає приведення функцій до лінійного вигляду, складання і рішення систем лінійних рівнянь для визначення числових значень коефіцієнтів, що невідомі і входять у вибрану апроксимуючу функцію.



1. Системи лінійних рівнянь і методи їх рішення

1.1. Системи лінійних рівнянь

В наданій роботі об'єктом вивчення являються системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівняння називається алгебричним, якщо кожна з його часток є багаточленом або одночленом по відношенню до невідомих величин. Лінійним рівнянням називають рівняння першого ступню. Степенем рівняння називають найбільший з показників при невідомому. Якщо рівняння вміщує кілька невідомих, то для кожного члена рівняння складаємо суму показників при всіх невідомих, що входять до нього. Найбільша з цих сум і називається ступнем рівняння.

Хай дана система лінійних рівнянь



Тут x1, x2, ... , xn – невідомі величини, aij (i = 1,2, ... , m; j =1, 2, ... , n) – числа,

що називають коефіцієнтами системи рівнянь (перший індекс відповідає номеру рівняння, другий – номеру невідомої величини), b1, b2, ... , bm – числа, які називають вільними членами.

Рішенням системи рівнянь називають упорядкований набір чисел x1, x2, ... , xn,

що перетворює кожне рівняння системи в тотожність.

Вирішити систему рівнянь – означає знайти всі її рішення або доказати, що жодного рішення немає. Система, що має рішення, називається сумісною. Якщо система має тільки одне рішення, вона називається визначеною. Система, що має більш ніж одне рішення, називається невизначеною (сумісною і невизначеною). Якщо система не має рішень, вона називається несумісною.

Система, всі вільні члени якої дорівнюють нулю(b1 = b2 = ... = bn = 0), називається однорідною. Однорідна система завжди сумісна, тому що набір з n нулів задовольняє будь-якому рівнянню такої системи. Якщо хоча б один вільний член відмінний від нуля, система називається неоднорідною.

Дві системи, безліч рішень яких збігаються, називаються еквівалентними або рівносильними (збіг безлічі рішень означає, що кожне рішення першої системи являється рішенням другої системи, і кожне рішення другої системи являється рішенням першої).

Дві несумісні системи вважаються еквівалентними.

Перебудова, застосування якої перетворює систему в нову систему, що еквівалентна попередній, називається еквівалентною або рівносильною перебудовою. Прикладами еквівалентних перебудов можуть бути наступні перебудова: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом з коефіцієнтами всіх рівнянь, помноження обох часток будь-якого рівняння системи на число, що не дорівнює нулю.

1.2. Методи рішення систем лінійних рівнянь

Існує достатня кількість методів рішення систем лінійних рівнянь. Зокрема, до цих методів відносяться: