Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами, Детальна інформація

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(85)

де р, q—дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді

(86)

де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо



\x2260 0, то

(87)

Отже, якщо k буде коренем рівняння (87), то функція (86) буде розв'язком рівняння (85). Квадратне рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2. Можливі три випадки:

);

);

);

Розглянемо кожен випадок окремо.

. У цьому випадку частинними розв'язками рівняння (85) є функції







Згідно з теоремою 4 (п. 3.2) загальний розв'язок рівняння (85) знаходять за формулою

(88)

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:



у формулу (86), знайдемо розв'язки



За формулою Ейлера



маємо