Розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера, методом Гаусса та за допомогою оберненої матриці. Теорема Кронекера-Капеллі, її застосування до дослідження і розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь, Детальна інформація

 де

   (4.8)                              

Виконавши всі ці операції при                                                                                                     Виконавши всі ці операції при

,

не буде.

                                                                                                     Таким самим способом, приймаючи в ролі ведучого інше рівняння, можна з усієї решти рівнянь виключити ведуче вибране невідоме. Продовжуючи цей процес доти, поки кожне рівняння побуде ведучим тільки один раз, прийдемо до системи рівнянь вигляду

   (4.9)

, то зрозуміло, вони далі в процесі перетворення не беруть участі і тому виключаються з системи.

.

Якщо описаний процес проводився в іншому порядку, то після його закінчення члени в рівняннях завжди можна переставити так, щоб система набрала вигляду (4.9).

У випадку, коли в процесі розв’язування системи рівнянь де-небудь ліва частина якогось рівняння перетворюється в нуль, а права-не дорівнює нулю, то це означає, що система несумісна і тому обчислення треба припинити.

, то такий базис називається виродженим.

            Приклад. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему рівнянь:



, щоб уніфікувати найменування невідомих. Тоді одержимо



, запишемо систему у вигляді таблиці, цілком зрозумілої:



Приймемо в ролі ведучого перший рядок і в ньому ведучим-перший елемент; за допомогою його перетворимо в нулі в першому стовпчику всі елементи, крім першого.

 і результати додамо відповідно до другого , третього, четвертого і п’ятого рядків. В результаті одержимо:

.

У другому рядку всі елементи від’ємні, тому можна весь рядок помножити на –1. Це не вплине на результат, бо така операція рівносильна множенню другого рівняння  на –1. Аналогічні дії виконані з третім рядком.





                                                                                                     Остання таблиця одержана множенням другого рядка на (3), 5-го – на (–3), четвертого – на ( –1).









 Пояснення до останньої таблиці: в ній рівняння мають вигляд