Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі в, Детальна інформація

                

5. Основні  теореми про границі

Наведемо теореми, якими користуються для знаходження границі числових послідовностей.

 є збіжна  послідовність, її границя дорівнює відповідній сумі границь даних послідовностей.

   Тоді



- нескінченно малі послідовності.

Додавши почленно  ці рівності, дістанемо:





 та



Зауваження . Теорема справедлива й для випадку всякого скінченого числа збіжних числових послідовностей.

 є збіжна послідовність, її границя дорівнює добутку границь даних послідовностей.



 - нескінченно малі послідовності.



Із властивостей нескінченно малих виводимо, що послідовність

- нескінченно мала.

Звідси 



 Теорему доведено.

Зауваження.  Теорема справедлива й у випадку добутку всякого скінченого числа збіжних послідовностей.           

маємо:

  

або сталий множник можна виносити за знак границі.

- натуральне число,

то



то