Числові послідовності. Границя, основні властивості границь. Нескінченно малі і нескінченно великі величини, їх властивості. Формулювання теореми про існування границі монотонної послідовності і функції. Порівняння величин. Еквівалентні нескінченно малі в, Детальна інформація

 Цю, а також й інші невизначеності розглянемо в наступних параграфах.

6. Границя монотонної числової послідовності

              Основні теореми про границі дають змогу встановлювати та знаходити числове значення границі заданої числової послідовності за   допомогою границь інших числових послідовностей, певним чином пов’язаних  з  розглядуваною. Проте в деяких випадках як теоретичного, так і практичного характеру не завжди можна використати ці теореми. Тому доводиться застосовувати інші способи, зокрема ознаки збіжності числових послідовностей.

Теорема 1. Якщо послідовність

                                        (5.10)

 є монотонно зростаюча (спадна) і обмежена зверху (знизу), то вона збіжна.

5. Порівняння нескінченно малих величин

            Іноді доводиться розглядати не одну, а декілька нескінченно малих функцій в даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення. Знайти границю такого відношення за відомими теоремами про нескінченно малі і про границі не можна. Це не випадково. Відношення двох нескінченно малих, залежно від характеру зміни порівнюваних між собою нескінченно малих, може вести себе по-різному: воно може бути або величиною, що прямує до скінченої, відмінної від нуля границі, або величиною нескінченно малою, або нескінченно великою, або величиною, яка має границі.

.

            Означення.1.  Якщо

,

 називаються нескінченно малими однакового порядку малості.

            Приклади.  

  і

 прямують до нуля. Знайдемо



.

            2. Нехай



.

            Знайдемо

.

 на нескінченності однакового порядку малості.

,

.

            Знайдемо

.

 нескінченно малі однакового порядку малості.

Означення 2.  Якщо