Організація повторень на уроках математики, Детальна інформація

BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN ( EFMN – пара-

СМ = МD MN || AC EF = MN лелограм

DN = NA MN = 1/2 AC

У класі завжди є учні, які швидко знайдуть розв’язання цієї задачі. Для організації індивідуальної групової діяльності більш сильним учням можна дати додаткові завдання:

Який вигляд повинен мати даний чотирикутник, щоб отриманий був а) прямокутником? б) ромбом? в) квадратом?

У цьому випадку доцільно підійти до розподілу диференційовано: найбільш сильним запропонувати варіант в), середнім — варіант б), іншим — а).

Пропонуючи учням задачі з надлишковою і неповною інформацією, ми виховуємо в них готовність до практичної діяльності. Розглядаючи витончене розв’язання тієї чи іншої математичної задачі, ми сприяємо естетичному вихованню школярів.

Мені хочеться привести кілька прикладів задач, що виникають при розгляді шарнірної моделі чотирикутника.

Переконавшись разом зі школярами в рухливості цієї моделі (не жорстко скріпленої у вершинах) учитель спонукає їх до висновку, що чотири дані сторони не визначають чотирикутник однозначно.

Потім перед учнями формулюється сама задача.

Задача 1. Маємо модель шарнірного чотирикутника зі сторонами визначеної довжини. Яким способами можна надати “жорсткість” даної моделі чотирикутника, якщо його вершини не можуть бути закріплені? Відповідь обґрунтувати.

В ході обговорення цієї задачі пропонуються різні варіанти її розв’язання, які перевіряються дослідним шляхом, наприклад, скріпити дві вершини чотирикутника планкою по діагоналі, з’єднати планкою середини двох протилежних сторін і т.д.

Переконавшись на досліді в розумності зроблених пропозицій, учні приходять до необхідності обґрунтувати той чи інший спосіб “надання жорсткості”. За допомогою вчителя вони приходять до можливості провести це обґрунтування, переформулювати задачу у вигляді відповідної задачі на побудову.

Можливість зведення конкретної задачі, визначеної на моделі, до розв’язання абстрактної геометричної задачі на побудову реалізує одну з найважливіших виховних функцій геометричних задач: зв’язок навчання математиці з життям, тобто показує реальне походження математичних абстракцій.

Враховуючи “властивість жорсткості” трикутника перше з вищезгаданих розв’язань обґрунтовується досить просто. Однак обґрунтування другого шляху розв’язання задачі не настільки очевидне. Виникає вже чисто геометрична абстрактна задача.

Задача 2. Побудувати чотирикутник АВСD, знаючи довжину його сторін і довжину відрізка MN, що з’єднує середини сторін АВ і DС.

Припустимо, що шуканий чотирикутник АВСD побудований. Виконаємо паралельне перенесення (DN) сторони DА і паралельне перенесення (CN) сторони СВ, тепер з точки N виходять 3 відрізка А1N, MN, NВ1 відомої довжини.

Неважко показати, що точка М є серединою А1В1. Справді, довжини відрізків АА1 і ВВ1 рівні 1/2DС, а самі відрізки || DС.

Тому чотирикутник А1АВ1В є паралелограмом. Точка М — середина його діагоналі АВ. Тому М належить діагоналі А1В1 і є її серединою.

Отже, у (NA1B1 відомі сторони NA1, B1N і відкладена між ними медіана. Для того, щоб побудувати цей трикутник, побудуємо точку N1, симетрично відносно М. Очевидно, |А1N1| = |В1N|.

Трикутник N1NA1 можна побудувати за трьома відомими сторонами: |NA1| = |DА|, |A1N1| = |В1N| = |CB| і |NN1| = 2|NM|.

Тепер побудуємо шуканий чотирикутник. Ділимо відрізок N1N точкою М на два конгруентних відрізка, будуємо точку В1, симетричну А1 відносно М. За трьома сторонами будуємо трикутники А1МА і МВВ1. Перенести відрізок А1А на вектор А1N, а відрізок ВВ1 на вектор B1N, отримаємо всі чотири вершини шуканого чотирикутника АВСD. Неважко показати єдиність розв’язку задачі.

Посиленню розвиваючих функцій задачі сприяє подальша постановка задач-аналогів, при розв’язанні яких використовується деякий (той самий) прийом, заснований на застосуванні певного методу. Це створює можливість розв’язання цілого класу задач, аналогічних даній, сприяючи, таким чином, формуванню в учнів здібностей до узагальнення.

Приклади подібних задач:

Задача 3. У чотирикутнику АВСD відома довжина відрізка МN, що з’єднує середини сторін АВ і СD, довжина діагоналі АС і довжини сторін АВ, ВР і AD. Чи є дана фігура жорсткою?

Задача 4. Побудувати трапецію АВСD за даними діагоналям АС, ВD, стороні AD і відрізку МN, що з’єднує середини її основ.

Розгляд цього прикладу показує, як досить широко можна використовувати навчальні, розвиваючі і виховні функції задач у їх єдності. Справді, у ході розв’язання цих задач використовуються різні властивості геометричних фігур, активно працює метод паралельного перенесення і прийом побудови допоміжної фігури з дуже цікавими властивостями, тісно зв’язаними з властивостями заданої (шуканої) фігури (реалізуються різні розвиваючі функції), задача легко моделюється, збуджує інтерес школярів (реалізуються виховні функції).

Досвід показує, що успішність в реалізації виховних функцій математичних задач багато в чому визначається пробудженням в учнів інтересу до даної задачі, виникненням у них стійкої потреби в її розв’язанні, наявністю інтересу до самого процесу розв’язання задач, на основі якого часто пробуджується і формується інтерес учнів до вивчення самої математики і суміжних навчальних дисциплін, інтерес до навчання в цілому.

Фактори, що істотно впливають на формування в учнів стійкого інтересу до розв’язання математичних задач, дуже різноманітні. До них, наприклад, відноситься доступність запропонованої задачі, зовнішня чи внутрішня цікавість задачі, усвідомлена можливість виявити при цьому творчу самостійність.

ВИСНОВОК