Організація повторень на уроках математики, Детальна інформація

4. Заключне повторення.

Повторення, що проводиться на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики і здійснюване в логічному зв’язку з вивченням навчального матеріалу з даного розділу чи курсу в цілому, будемо називати заключним повторенням.

Цілі тематичного і заключного повторення аналогічні, матеріал повторення (відбір істотного) дуже близький, а прийоми повторення в ряді випадків збігаються.

Заключне повторення навчального матеріалу переслідує такі цілі:

1. Огляд основних понять, головних ідей курсу відповідного навчального предмету; нагадування в найбільш загальних рисах пройденого шляху, еволюції понять, їх розвитку, теоретичних і практичних застосувань.

2. Поглиблення і по можливості розширення знань учнів з основних питань курсу в процесі повторення.

3. Деяка перебудова й інший підхід до раніше вивченого матеріалу, приєднання до повторюваного матеріалу нових знань, що допускаються програмою з метою його поглиблення.

Зміст і методика узагальнюючого повторення на прикладі теми: “Чотирикутники”

Розв’язанням однієї з важливих задач загальноосвітньої і професійної школи є посилення прикладної спрямованості навчання. У зв’язку з цим важливо виробити в учнів уміння при вирішенні конкретних питань орієнтуватися на істотні властивості об’єктів і явищ. Великі можливості для формування такого вміння має вивчення теми “Чотирикутники”.

Пропонований матеріал представляє великі можливості для організації різних форм колективної учбово-пізнавальної діяльності учнів, формування їхнього діалектико-матеріалістичного світогляду, закладає фундамент для розвитку вміння застосовувати геометричні знання при вирішенні питань життєво-практичного і виробничого характеру.

В якості провідної ідеї візьмемо ідею чіткого розмежування властивостей і ознак паралелограма і його частинних випадків.

Насамперед потрібно домогтися, щоб учні навчилися розрізняти поняття “властивість фігури” і “ознака фігури”. Якщо дано, що фігура паралелограм, і виходячи з цього доводять деякі співвідношення між елементами розглянутої фігури, то кожне з цих співвідношень називається властивістю фігури, про яку мова йде в умові теореми.

Наприклад, теорема: “У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні”, коротко може бути записане так:

Дано: АВСD – паралелограм.

Довести: 1) АВ = СD; AD = ВC;

2) (А = (C; (B = (D.

Кожне зі співвідношень (1), (2) висновку теореми дає властивість паралелограма.

У теоремі ж “Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник — паралелограм” вказані співвідношення між елементами деякого чотирикутника (АО=ОС, ВО=ОD) і доводиться, що при їх виконанні чотирикутник буде належати до класу паралелограмів (буде паралелограмом). У цьому випадку умови (АО=ОС, ВО=ОD) називають ознаками паралелограма, тому що при їх виконанні ми можемо впевнено стверджувати, що чотирикутник, для якого виконуються ці умови, обов’язково буде паралелограмом (теорема).

Більш глибокого й свідомого засвоєння понять “властивість” і “ознака” можна домогтися, якщо зв’язати їх з поняттями “необхідна умова”, “достатня умова”, “необхідна і достатня умова”.

Повідомляємо школярам, що будь-яка теорема може бути записана у вигляді А\xF0DEB, де А — умова теореми (що дано), а В — висновок теореми (що потрібно довести).

Якщо доведена теорема А\xF0DEB, то А є достатнім для В (як тільки є А, то зараз же буде й B), а В — необхідне для А, з А необхідно випливає В.

Ще більш переконливе обґрунтування того, чому умова B вважається необхідною для А, можна дати, якщо познайомити учнів з питанням про види теорем і зв’язку між ними. Записуємо схему:

(1) А\xF0DEВ B\xF0DEА (2)

(3) не А \xF0DE не В не В \xF0DE не А (4)

Повідомляємо, що якщо твердження (1) назвати прямим, то твердження (2) буде до нього зворотним, твердження (3) — протилежним прямому, а (4) – протилежне зворотному. Далі доводиться, що зі справедливості твердження (1) випливає справедливість твердження (4) [(1)\xF0DE(4)] і навпаки, тобто (4)\xF0DE(1).

Повідомляється, що якщо (1)\xF0DE(4), то твердження називаються еквівалентними. Аналогічно еквівалентні твердження (2) і (3) [(2)\xF0DB(3)].

Словами формулу (1)\xF0DE(4) можна розшифрувати так: якщо з умови А слідує (випливає) умова В, то без B немає й А (з не B не А), іншими словами В необхідно для А (без B не буде й А).

А далі повідомляємо, що необхідна умова дає нам властивість, а якщо умова не тільки необхідна, але й достатня, то одержуємо ознаку.

Іншими словами, щоб одержати властивість B якого-небудь об’єкта А, досить довести теорему А\xF0DEB, а щоб переконатися, що розглянута властивість B є ознакою, варто ще довести теорему В\xF0DEА (зворотну).

Разом з учнями згадуємо всі властивості паралелограма і складаємо таблицю.