Диференціальні рівняння, Детальна інформація

y''+ 4у = 0 є диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо до рівняння входить незалежна змінна, невідома функція і її похідна, то це рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім того, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку і т. д.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальне рівняння, називають розв'язком, або інтегралом цього рівняння, а розв'язування диференціального рівняння - інтегруванням. Наприклад, функція у = ex є розв'язком диференціального рівняння у — у' = 0, бо (єx)' = ex.

Функція у = cos x є розв'язком диференціального рівняння у" + у == 0.

Справді, для функції у = cos x, маємо:

у" = - cos x. Підставляючи значення у" в рівняння y" + у = 0, дістанемо - cos x + cos x = 0.

Аналогічно можна переконатися, що функція у = A sin x + В cos x, де А і В — довільні сталі, також є розв'язком даного рівняння.

Розглянемо задачу геометричного змісту. Розв‘язання цієї задачі допоможе з‘ясувати зміст довільних сталих.

Задача. Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x3.

Розв‘язання. У цій задачі треба знайти формулу, що задає функцію F, похідною якої є функція f (x) = 4x3 , тобто треба знайти первісну функції y=4x3. Крім того , відомо, що графік шуканої функції проходить через задану точку М (1;2).

Множина первісних всіх функцій для функції y=4x3 має вигляд F(x) = x4+С, де С – довільна стала. Щоб виділити з цієї множини первісну, графік якої проходить через точку М (1;2), враховується, що коли x=1, значення функції F (1) має дорівнювати 2. Підставляючи у рівність F(x) = x4+С замість x число 1, а замість F(x) – число 2, дістанемо 2 = 1 + С, звідки С=1. Підставляючи значення С в ту саму рівність дістанемо, що F(x) = x4+1 – шукане рівняння кривої, яка проходить через точку М (1;2).

Отже визначені довільні сталі значно звужують множину розв‘язків і допомагають знайти один – потрібний для даної задачі.

Загальним розв'язком даного диференціального рівняння називається розв'язок (якщо він існує), у якого число довільних сталих дорівнює порядкові рівняння.

Розв'язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається окремим розв'язком цього диференціального рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі у" + у = 0 розв'язок у = A sin x + В cos x є загальним, а розв'язок у=cos x - окремим.

На практиці здебільшого окремий розв'язок конкретного диференціального рівняння знаходять із загального розв'язку, виходячи з деяких умов, яким має задовольняти шуканий окремий розв'язок. Умови, яким має задовольняти окремий розв'язок даного диференціального рівняння, називають початковими умовами.

Задача відшукання конкретного окремого розв'язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається, задачею Коші.

Приклади. Знайти окремий розв'язок диференціального рівняння

уy'+2х=0. (1)

яке задовольняє початковим умовам: у = 4, х = 3, якщо загальний розв'язок даного рівняння задано у вигляді

х2 + у2 =а2 (2)

Розв'язання. Підставивши в загальний розв'язок (2) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої 32 + 42 = a2, звідси а = ±5. Отже, шуканий окремий розв'язок диференціального рівняння (1) для заданих початкових умов є функція у, задана рівнянням х2 + у2 =25.

Дамо геометричну інтерпретацію розв'язку рівняння (1).

Оскільки кожний окремий розв'язок даного рівняння е деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв'язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння. Загальному розв'язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім'єю інтегральних кривих диференціального рівняння.

Ми встановили, що окремим розв'язком рівняння уу' + 2х=0 при початкових умовах х=3 і у =4 є крива

х2 + у2 = 25, а загальним розв'язком x2 + y2 = а2.

У системі координат на площині загальний розв'язок задає множину концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл треба взяти те, яке проходить через точку з координатами х = 3, у = 4. Це коло радіуса 5, тобто x2 + у2 = 25.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв'язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв'язки за допомогою ЕОМ. Диференціальні рівняння досить просто і повно описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв'язувати, а й складати.



2. Історична довідка.