Диференціальні рівняння, Детальна інформація

У кінці XVII — на початку XVIII ст. різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагалися здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найпростіші диференціальні рівняння з'явилися вже в працях Ісаака Ньютона (1643—1727) і Готфріда Лейбніца (1646—1716). Саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства і техніки. їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, у багатьох задачах хімії, біології. Це пояснюється тим, що-досить часто об'єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобом для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю зміни цих величин. Іншими словами, ці закони виражаються рівностями, в яких е невідомі функції та їх похідні.

У XVIII ст. теорія диференціальних рівнянь відокремилася з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну, її успіхи пов'язані з іменами швейцарського вченого Іоганна Бернуллі (1667—1748), французького математика Жозефа Лагранжа (1736—1813) і особливо Леонарда Ейлера.

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв'язуванням деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуком класів рівнянь, розв'язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв'язку.

У зв'язку з потребами практики поступово розроблялися і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв'язування кожної такої задачі до числового результату.

2. Основна частина.

I. Рівняння показового росту

Розглянемо диференціальне рівняння вигляду

y’(x) = ky(x) (3)

де k – постійна, а y(x) – шукана функція.

Рівняння (3) називається рівнянням показового росту. Воно має такий зміст: для кожного значення аргументу, швидкість зміни функції пропорційно значенню даної функції.

Для того, щоб знайти розв’язки рівняння (3), можна поступити наступним чином. Нехай y(x)- деякий розв’язок, це означає, що y’(x) – ky(x)= 0 вірно. Помноживши обидві частини рівності на відмінний від 0 множник e-kx, отримаємо вірну рівність

e-kx y’(x) – e-kx ky(x) = 0 (4)

Так як (e-kx y(x))’ = e-kx y’(x) – ke-kx y(x), то рівність (4) можна записати так

(e-kx y(x))’ = 0,

звідки e-kx y(x) = C, або

y(x)=Cekx, (5)

де C – деяка довільна постійна.

Отже, тільки функції вигляду (5) можуть бути розв’язками рівняння показового росту (3). Безпосередня підстановка в рівняння (3) показує, що при будь-якій постійній C функція (5) є розв’язком рівняння (3). Таким чином, формула (5) визначає множину розв’язків рівняння (3).

Для того, щоб із знайденої множини розв’язків (5) відокремити визначене, потрібно знати константу C. Для цього потрібні додаткові умови – так названі початкові умови; в даному випадку достатньо знати значення шуканої функції при деякому значенні аргументу:

y(x0)=y0 (6)

Підставивши початкову умову (6) в розв’язок рівняння (5), знайдемо y0=Cekx0, звідки C=y0e-kx0. Підставивши це значення C в формулу (5), отримаємо розв’язок рівняння показового росту, яке задовольняє задано ній початковій умові (6):

y(x) = y0ek(x-x0). (7)

Ми бачимо, що постійна C по початковій умові (6) визначається однозначно; ось чому розв’язок (7), який задовольняє даній початковій умові буде єдиним.

Приклад. Розв’язати рівняння y’(x) = 3y(x), якщо y(0) = 2.

Тут k=3, x0=0, y0=2; розв’язання можна записати за формулою (7): y(x)=2e3x. Це буде єдиний розв’язок, задовольняючий заданій початковій умові.

Розглянемо деякі прикладення рівняння (3). При розв’язування задач потрібно спочатку скласти диференціальне рівняння, указати початкову умову, а потім розв’язати рівняння. При складанні рівняння звичайно використовують відомі з курсів фізики та хімії закони.

1. Швидкість прямолінійного руху.

З другого закону Ньютона