Диференціальні рівняння, Детальна інформація

Так як інтенсивність світла А (х) з збільшенням глибини х зменшується, то похідна А'(х) від’ємна. Рівняння (14) є диференційним рівнянням типу (3) відносно функції А (х).

яскравості денного світла?

Розв’язання. Початкова умова задачі має вигляд

A(0)=A0 (15)

Записавши розв’язання рівняння (14) при початковій умові (15) по формулі (5), отримаємо A(x)=A0e-kx; звідки, використовуючи додаткову умову A(10) = 0,6A0, знайдемо



Закон поглинання світла матиме вигляд



Для визначення в задачі глибини х отримаємо рівняння



247 м.

4. Концентрація розчину.

Задача. Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент (t=0) її було в розчині A0 кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.

Розв’язання. Позначимо через A (t) кількість солі в розчині в момент часу t. Концентрація розчину в цей момент часу буде рівна A (t)/a. Зміна кількості солі в розчині в одиницю часу дорівнює різниці між кількістю солі, що надходить в судину і що виходить з неї. Але сіль в судину не надходить, а виходить з нього в одиницю часу bA (t)/a. Тому швидкість А' (t) зміни кількості солі в розчині дорівнює

(16)

Знак мінус вказує на зменшення кількості солі у розчині. Маємо диференціальне рівняння типу (3) з початковою умовою

А(0) = А0 (17)

1,654 кг.

II. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку.

Подібно тому, як в алгебрі виникає поняття ступеню алгебраїчного рівняння, в аналізі виникає поняття порядку диференційного рівняння.

Якщо диференційне рівняння містить лише першу похідну цієї функції, те воно називається диференційним рівнянням першого порядку. З диференційних рівнянь першого порядку для додатків велике значення мають рівняння вигляду

y’ (x) +p (x) y (x) =q (x), (19)

Де р(x) і q(x) — деякі безперервні функції; в а саме, вони можуть бути постійними. Це рівняння лінійне відносно цієї функції і її похідної. Такі рівняння називаються лінійними диференційними рівняннями. При q(x) = 0 рівняння (18) має вигляд

y’(x)+p(x)y(x)=0 (20)

Позначимо через v(х) одну з первісних функції р(х) і умножимо обидві частини рівності (20) на відмінний від нуля множник еv(x). Помітивши, що

v'(х) =р (х), отримаємо справедливу рівність (y (x) ev(x)) ’=0. Отже,

y(х) еv(x)=C, де C-довільна постійна, звідки

y(х) =Се-v(x). (21)

Отже, якщо у (х) – розв’язання рівняння (19), те воно має вигляд (21). Безпосередній підстановкою в рівняння (19) функції (21) переконуємось, що при будь-якому значенні постійної С вона є розв’язанням рівняння (19). Отже, формула (21) дає безліч всіх розв’язків рівняння (19). При початковій умові (6) з неї можна отримати певний розв’язок.

0, q(x) =a (k і а - постійні), рівняння