Диференціальні рівняння, Детальна інформація

з початковою умовою

I (0)=0. (27)

Випадок а). При постійному струмі E(t)=E рівняння (26) з початковою умовою (27) аналогічно рівнянню (22) з початковою умовою (4). Розв’язавши його по формулі (23), знайдемо

. (28)

З (28) маємо, що з зростанням часу t сила струму I(t) наближається до постійного значення E/R. Таким чином, у встановившомуся режимі при постійній ЕРС джерела струму виникаючої в ланцюгу струм “не помічає” індуктивності і підпорядковується закону Ома для замкнутої ділянки ланцюгу постійного струму.

3. Падіння тілї

При падінні тіл в порожнечі рух відбувається прямолінійно під дією сили тяжіння. При падінні тіл в повітрі рух можна вважати також прямолінійним, що відбувається під дією сили тяжіння і сили опору повітря, направленої вгору.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v0 м/с.

Розв’язання. Направимо ось Оу вертикально вниз вздовж траєкторії падіння тіла. На тіло будуть діяти дві сили: сила тяжіння і сила опору повітря. Проекція сили тяжіння на ось Оу дорівнює mg, де m- маса тіла; проекція сили опору повітря на ось Оу, згідно умові задачі, дорівнює - kv (t), де k-коефіцієнт пропорційності. Проекція прискорення руху тіла на ту же ось дорівнює похідної v’(t). На підставі другого закону Ньютона будемо мати

mu' (t) == mg - kv (t),

або v' (t) +k1v (t)=g, (29)

де k1=k/m.

Рівняння (29) - лінійне диференційне рівняння типу (22) з початковою умовою

v (0)=v0. По формулі (23) знайдемо його розв’язання:



. Величина k залежить від діаметру куполу парашуту. Це дозволяє (при відомому значенні mg) зробити розрахунок так, щоб швидкість спуску парашутиста була безпечною для приземлення. Звичайно така швидкість рівна 5-7 м/с.

Задача. Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v0.

Розв’язання. В цьому випадку опір повітря буде відсутнім і рівняння (29) видозмінюється

v’ (t) =g. (30)

В результаті інтегрування отримаємо безліч розв’язків v (t) =gt+C, з якого знайдемо розв’язок рівняння (30), що задовольнить заданій початковій умові v (0) =v0: v (t)=v0+gt-результат, добре відомий з курсу фізики.

III. Гармонічні коливання

x= 0, (31)

- деяке додатне число.

Безпосередньою підстановкою перевіряємо, що функція

t+() (32)

для будь-яких сталих A і ( є розв'язком рівняння (31). Можна показати, що інших розв'язків рівняння (31) не має. Таким чином, функція (32) задає загальний розв'язок рівняння (31).

називають частотою коливання.

.

. Для їх визначення слід задати дві умови, наприклад,

x(t0)=x0, x’(t0)=v0. (33)