Диференціальні рівняння, Детальна інформація

(8)

де a – це прискорення руху матеріальної точки маси m, F – результуюча всіх сил діючих на матеріальну точку.

Швидкість руху v(t) і прискорення a(t) являються функціями від часу t, також, як відомо v’(t) = a(t). Помітимо, що дії над векторами, які проведені вздовж однієї прямої, на якій вибрано додатній напрям можна замінити на дії над їхніми проекціями на цю ж саму пряму. Таким чином, у випадку руху матеріальної точки вздовж осі Ox рівність (8) може бути заміненим рівністю

mv’(t) = F, (9)

на цю ось. Рівняння (9) описує також і поступальний рух тіла. Такий рух можна розглядати як рух матеріальної точки, яка розташована в центрі мас тіла, під дією сил, прикладених до центру мас.

Задача. Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю 5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через 4 с її швидкість стала рівної 1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до 4 см/с?

Розв’язання. Будемо вважати, що човен рухається прямолінійно. Направимо ось Ох вздовж руху човна. Позначимо через v(t) швидкість руху човна в момент часу t після вимкнення мотора. В момент вимкнення мотора (t=0) швидкість, за умовою, дорівнює 5 м/с, або

v (0) =5. (10)

Це – початкова умова задачі. Складемо диференційне рівняння. Нехай маса човна дорівнює m. За умовою, на рухаючийся човен діє сила F=- k1v(t), де k1>0 (знак мінус вказує на те, що сила опору води направлена проти швидкості руху човна). Підставивши це значення F в рівняння (9) і позначивши m k1 = k, отримаємо диференціальне рівняння

v’(t)=- kv(t), k>0,

аналогічно рівнянню (3). За формулою (7) знайдемо його розв’язок при початковій умові (10):

.

Використовуючи додаткову умову v(4)=1 м/с, знайдемо



- це закон зміни швидкості руху човна після зупинки мотору. Для відповіді на питання потрібно розв’язати рівняння v(t)=0,04 відносно t. Розв’язавши його отримаємо, що t=12с.

2. Радіоактивний розпад.

. Іншими словами: швидкість розпаду атомів радіоактивної речовини пропорційна кількості нерозпавшихся атомів, а саме

(11)

Де М (t)- кількість нерозпавшихся радіоактивних атомів речовини в момент часу t, М' (t) - швидкість їхнього розпаду. Бо з плином часу кількість нерозпавшихся атомів зменшується, те похідна М' (t) від’ємна. Рівняння (11) є диференційним рівнянням, аналогічним диференційному рівнянню показового зростання (3). Враховуючи зв'язок між числом ядер і масою радіоактивної речовини, будемо говорити просто про розпад радіоактивної речовини.

Задача. Є М0 радіоактивної речовини. Якщо за 30 років розпадається 50% його, те через скільки часу залишиться 25% первісної кількості?

Розв’язання. Позначимо через M (t) кількість радіоактивної речовини в момент часу t. Тоді

M (0) =M0 (12)

Це – початкова умова задачі. Розв’язавши рівняння (11) при початковій умові (12) отримаємо

(13)

Прийнявши до уваги, що M(30)=M0/2, з формули (13) знайдемо



За допомогою нескладних обчислень отримаємо, що відповідь 60 років.

3. Поглинання світла

При проходженні світла через воду (або скло) деяка його частина поглинається. Нехай на поверхню води перпендикулярно до неї падає світло з інтенсивністю A0, інтенсивність світла на глибині х позначимо через А (х). Похідна А' (х) – швидкість поглинання світла на глибині х. З оптики відомо, що для таких серед, як вода або скло, швидкість поглинання світла на глибині х пропорційної інтенсивності світла на цій глибині, а саме

(14)