Диференціальні рівняння, Детальна інформація
Диференціальні рівняння
y'(x) +ky (x) =a (22)
Можна переписати в вигляді однорідного рівняння
.
Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x)цього рівняння визначається формулою
y(x)=Ce-kx+a/k,
а розв’язок рівняння (22), яке задовольняє початковій умові (6), - формулою
(23)
Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.
1. Охолодження тіла
Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.
Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?
Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою
U (0)=500 (24)
Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:
U (t) = -k (U (t)-20), k>0.
Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):
U’ (t)+kU (t)= 20k
Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо
U (t)= 480e-kt+20
. Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.
2. Найпростіші електричні ланцюги
Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:
E=UR+UC+UL. (25)
Тут UR=RI(t) – напруга на активному опорі, UC=q(t)/C – напруга на конденсаторі і UL=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.
Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.
0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;
Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення
,
яке при заданих R, L і E(t) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння
(26)
Можна переписати в вигляді однорідного рівняння
.
Звідси видно, що множина всіх розв’язків y(x)цього рівняння визначається формулою
y(x)=Ce-kx+a/k,
а розв’язок рівняння (22), яке задовольняє початковій умові (6), - формулою
(23)
Розглянемо деякі задачі на прикладення лінійних рівнянь.
1. Охолодження тіла
Нагріте тіло, поміщене в середу з більш низькою температурою, буде охолоджуватися, при цьому швидкість охолодження з плином часу зменшується. Як відомо, швидкість охолодження поверхні тіла в будь-якій її точці пропорційна різниці температур поверхні тіла і навколишньої середи.
Задача. Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?
Розв’язання. Позначимо через U (t) температуру на поверхні деталі в момент часу t після початку охолодження. За умовою
U (0)=500 (24)
Це – початкова умова задачі. Швидкість охолодження поверхні деталі в момент часу t дорівнює U’(t). Вважаючи температуру повітря постійною, отримаємо:
U (t) = -k (U (t)-20), k>0.
Так, як температура на поверхні деталі зменшується, то похідна від’ємна. Звідси для U(t) отримаємо лінійне диференціальне рівняння, аналогічне рівнянню (22):
U’ (t)+kU (t)= 20k
Розв’язуючи його за формулою (23) з початковою умовою (24), отримаємо
U (t)= 480e-kt+20
. Якщо t=20 отримаємо U(20)=33+1/3.
2. Найпростіші електричні ланцюги
Якщо в замкнутий електричний ланцюг послідовно ввімкнуті джерело струму з електрорушійною силою (ЕРС) Е, В, активний опір R Ом, котушка з індуктивністю L Гн і конденсатор ємністю С, Ф, то, як відомо з електротехніки, між ЕРС і напругами на активному опорі, котушці індуктивності і конденсаторі в будь-який момент часу t існує така залежність:
E=UR+UC+UL. (25)
Тут UR=RI(t) – напруга на активному опорі, UC=q(t)/C – напруга на конденсаторі і UL=LI’(t) – напруга на котушці індуктивності; I(t) – сила струму в ланцюгу в момент часу t, яка вимірюється в амперах, q(t) – заряд конденсатора в момент часу t, яких вимірюється в кулонах.
Використовуючи співвідношення (25) і знаючи, що q’(t)= I(t), можна знайти силу струму в ланцюгу в залежності від заданої ЕРС джерела струму.
0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна – E(t)=E;
Розв’язання. Використовуючи (25), після відповідних підстановок отримаємо співвідношення
,
яке при заданих R, L і E(t) можна розглядати як лінійне диференціальне рівняння
(26)
The online video editor trusted by teams to make professional video in
minutes
© Referats, Inc · All rights reserved 2021