Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки, Детальна інформація

Реферат з математики на тему:

Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.



План:

1. Задача Коші

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

1. Задача Коші.



задовольняє такі умови:

(1)

або

(2)

- довільні наперед задані дійсні числа.

Умови (2) називають початковими умовами рівняння (1). Зокрема, рівняння другого порядку



початкові умови при х=х0 мають вигляд



Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою Коші.

існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові умови (2).

(мал..) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні криві, але з іншим нахилом дотичної.

Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має вигляд

(5)

Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:

(6)

то його називають загальним інтегралом рівняння (1).

Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального , якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ..., Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сп, а частинний розв’язок - окрема крива з цієї сім’ї.

задовольняє початкові умови (54).

Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє початкові умови, якщо такі умови задані.

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку