Диференціальні рівняння. Задача Коші, Детальна інформація

Приклади.

.

, розділивши тим самим змінні:



Почленно інтегруємо:

,

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

;

;

;

;

.

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.

2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .

Розділяємо змінні:

;

.

Інтегруємо праву та ліву частини:

.

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:

-7y=7x+C .

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)

7y+7x=C .

Розв’язати диференціальне рівняння

;

;

arctgy=arctgx+C .

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:

arctgy=arctgx+arctgC.