Диференціальні рівняння. Задача Коші, Детальна інформація

.

Знаходимо загальний розв’язок:

(заміна y2=t ( 2ydy=dt ( ydy=dt/2);

lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;

;

;

x2((1+y2)=C.

Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:

12(1+22)=C, звідки C=5.

Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.

Ріст при постійному темпі приросту.

Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від’ємним) і дорівнює величині T.

, приходимо до такої задачі Коші:



Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:

;

lny=T(t+lnC ;

y=C(eT(t .

Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT(0 =C і далі

y(t)=P0 eT(t (розв’язок задачі Коші).

Знайдена функція y(t)=P0(eT(t дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P0( e-0,02(25 = P0( e-0,5 (0,607P0.

Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0(eT(t описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.

Ріст при спадному темпі приросту.

Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару. Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).

В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною функцією: Ty = b-ay.

Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язуємо дифренціальне рівняння

;

розкладено на суму